量子計算對比特幣的威脅與後量子防護對策

1.1 量子威脅導論

量子電腦對當前保護比特幣及其他加密貨幣的密碼系統構成生存性威脅。根據樂觀估計，發展出足夠大型的量子電腦可能最早在2027年就能破解比特幣使用的橢圓曲線數位簽章演算法（ECDSA）。

1.2 比特幣安全基礎

比特幣的安全性依賴兩大核心組件：工作量證明共識機制與用於交易授權的橢圓曲線密碼學。自2008年問世以來，比特幣的去中心化特性已證明對傳統計算攻擊具有卓越的韌性。

2. 量子攻擊分析

2.1 工作量證明抗性

比特幣基於SHA-256的工作量證明展現出對量子加速的相對抗性。當前ASIC礦機的雜湊率約達100 TH/s，而近期量子電腦估計僅能達到100 MHz-1 GHz的時脈速度。將Grover演算法應用於挖礦僅能提供二次方優勢，實際加速約為2-4倍，而非指數級提升。

2.2 橢圓曲線漏洞

比特幣使用的橢圓曲線簽章方案對Shor演算法高度脆弱，該演算法能在多項式時間內解決橢圓曲線離散對數問題。關鍵攻擊窗口存在於交易廣播與區塊鏈確認之間（通常為10分鐘）。

3. 抗量子解決方案

3.1 Momentum工作量證明

基於尋找雜湊碰撞的Momentum工作量證明，相較於比特幣的SHA-256挖礦提供更強的量子抗性。生日悖論提供天然抗性，量子優勢僅為$O(2^{n/3})$，對比傳統$O(2^{n/2})$。

function momentum_mining(difficulty):
    while True:
        nonce1 = random()
        nonce2 = random()
        hash1 = sha256(block_header + nonce1)
        hash2 = sha256(block_header + nonce2)
        if hamming_distance(hash1, hash2) < difficulty:
            return (nonce1, nonce2)
    

3.2 後量子簽章方案

數種後量子簽章方案在區塊鏈應用中展現潛力：

• 基於雜湊的簽章： SPHINCS+與XMSS提供強健的安全性證明
• 基於晶格的方案： Dilithium與Falcon具備優良效能特性
• 基於編碼的方案： Classic McEliece提供保守安全性

4. 技術實作

量子攻擊的數學基礎依賴於Shor演算法解決離散對數問題。對於有限體$F_p$上的橢圓曲線$E$，生成點$G$，公鑰$P = kG$，Shor演算法透過求解來找到私鑰$k$：

$E(F_p)$中的 $k = \log_G P$

量子傅立葉轉換能在隱藏子群問題中實現高效週期尋找，相較傳統演算法提供指數級加速。

5. 未來應用

向抗量子加密貨幣的轉型可能遵循數條路徑：

• 短期（2023-2027）： 後量子演算法研究與標準化
• 中期（2027-2035）： 混合簽章方案的實作
• 長期（2035年後）： 全面遷移至抗量子協定

新興技術如量子區塊鏈與量子安全分散式帳本可能利用量子纏結增強安全性，正如美國國家標準與技術研究院（NIST）後量子密碼學標準化進程中最新研究所探討。

6. 參考文獻

1. Aggarwal, D., 等人。〈量子攻擊對比特幣及防護方法〉。arXiv:1710.10377 (2017)。
2. Shor, P. W.。〈量子電腦上的質因數分解與離散對數多項式時間演算法〉。《SIAM計算期刊》26.5 (1997)：1484-1509。
3. NIST。〈後量子密碼學標準化〉。美國國家標準與技術研究院 (2022)。
4. Nakamoto, S.。〈比特幣：點對點電子現金系統〉。(2008)。
5. Bernstein, D. J., 等人。〈SPHINCS：實用無狀態基於雜湊簽章〉。EUROCRYPT 2015。
6. Alagic, G., 等人。〈NIST後量子密碼學標準化流程第二輪狀態報告〉。NIST IR 8309 (2020)。