Максимальная запутанность монеты и позиции в квантовых блужданиях

Содержание

1. Введение

Квантовые блуждания (КБ) представляют собой квантовый аналог классических случайных блужданий и стали фундаментальными инструментами в науке о квантовой информации. В отличие от своих классических аналогов, квантовые блуждания используют суперпозицию и запутанность для достижения экспоненциального ускорения в различных вычислительных задачах. Данное исследование сосредоточено на дискретных квантовых блужданиях (ДКБ) и специально рассматривает проблему генерации максимальной запутанности между монетой и позицией независимо от начальных условий.

Ключевым нововведением, представленным здесь, является разработка оптимизированных последовательностей монет, которые гарантируют генерацию максимальной запутанности для любого шага после второго, преодолевая предыдущие ограничения, требующие либо специфических начальных состояний, либо асимптотических подходов. Эта работа соединяет теоретическую оптимизацию с экспериментальной проверкой с использованием линейной оптики.

2. Методология

2.1 Фреймворк квантовых блужданий

Дискретное квантовое блуждание работает в гильбертовом пространстве $\mathcal{H} = \mathcal{H}_c \otimes \mathcal{H}_p$, где $\mathcal{H}_c$ - пространство монеты (обычно двумерное), а $\mathcal{H}_p$ - пространство позиций. Эволюция на каждом шаге управляется унитарным оператором $\hat{U} = \hat{S}(\hat{C} \otimes \hat{I})$, где $\hat{S}$ - оператор сдвига, а $\hat{C}$ - оператор монеты.

2.2 Последовательности операций монеты

Мы используем стратегию, при которой операция монеты на каждом шаге случайным образом выбирается из набора двух операторов: вентиля Адамара $\hat{H}$ и тождественного вентиля $\hat{I}$. Эта последовательность эквивалентна обобщенному квантовому блужданию слона и позволяет осуществлять надежную генерацию запутанности независимо от начального состояния монеты.

3. Техническая реализация

3.1 Математическая формулировка

Общий оператор монеты SU(2) параметризуется как:

$$\hat{C}(\xi, \gamma, \zeta) = \begin{pmatrix} e^{i\xi}\cos\gamma & e^{i\zeta}\sin\gamma \\ e^{-i\zeta}\sin\gamma & -e^{-i\xi}\cos\gamma \end{pmatrix}, \quad \gamma, \xi, \zeta \in [0, 2\pi]$$

Для генерации максимальной запутанности мы специально используем оператор Адамара $\hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ и тождественный оператор $\hat{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ в оптимизированных последовательностях.

3.2 Подход к оптимизации

Генерация максимальной запутанности формулируется как задача оптимизации с верностью квантового процесса в качестве целевой функции. Оптимизация идентифицирует последовательности монет, которые максимизируют запутанность для любого номера шага $T \geq 3$, достигая результатов, не зависящих от подготовки начального состояния.

4. Экспериментальные результаты

4.1 Реализация на линейной оптике

Мы экспериментально продемонстрировали десятишаговое квантовое блуждание с использованием линейной оптики. Установка использовала волновые пластинки и сместители лучей для реализации операций монеты и операций сдвига, при этом одиночные фотоны служили блуждающими частицами. Экспериментальная конфигурация позволила осуществлять точный контроль над последовательностью монеты и точное измерение результирующей запутанности.

4.2 Измерение запутанности

Сгенерированная запутанность была количественно оценена с использованием мер сцепленности и энтропии. Для десятишагового блуждания с оптимизированными последовательностями монет мы наблюдали почти максимальные значения запутанности, превышающие 0,98 для всех протестированных начальных состояний. Распределение вероятностей показало характерное более быстрое распространение, связанное с обобщенным квантовым блужданием слона.

5. Анализ и обсуждение

Это исследование представляет собой значительный прогресс в генерации запутанности на основе квантовых блужданий, решая две критические ограничения предыдущих подходов: зависимость от номера шага и чувствительность к начальному состоянию. Разработанный здесь фреймворк оптимизации рассматривает генерацию максимальной запутанности как задачу оптимизации верности квантового процесса, давая последовательности монет, которые гарантируют высокую запутанность для любого шага после второго.

По сравнению с предыдущими работами по неупорядоченным квантовым блужданиям, которые достигали асимптотической генерации запутанности, наш подход предоставляет практические, конечные шаговые решения, которые немедленно применимы в экспериментальных условиях. Эквивалентность между нашими оптимизированными последовательностями монет и обобщенным квантовым блужданием слона раскрывает интересную связь между генерацией запутанности и транспортными свойствами, в частности наблюдаемым более быстрым распространением в пространстве позиций.

Экспериментальная проверка с использованием линейной оптики демонстрирует осуществимость реализации этих оптимизированных последовательностей с современными квантовыми технологиями. Как отмечено в всестороннем обзоре квантовых блужданий Венегас-Андрака (2012), способность надежно генерировать высокоразмерную запутанность имеет решающее значение для продвижения протоколов квантовой связи. Наша работа согласуется с общей тенденцией в науке о квантовой информации к разработке надежных, не зависящих от начального состояния протоколов, аналогично достижениям в квантовой коррекции ошибок и отказоустойчивых квантовых вычислениях.

С технической точки зрения, использование операций Адамара и тождественности в оптимальных последовательностях особенно примечательно. Эта простота повышает экспериментальную осуществимость, сохраняя теоретическую производительность, напоминая минималистский подход, наблюдаемый в основополагающих работах, таких как статья CycleGAN (Zhu et al., 2017), где простые архитектурные решения давали мощные результаты. Математическая формулировка с использованием параметризации SU(2) предоставляет всеобъемлющий фреймворк, который может быть расширен на более сложные операции монеты в будущих работах.

Последствия этого исследования выходят за рамки фундаментальной квантовой механики к практическим квантовым технологиям. По мере созревания платформ квантовых вычислений способность надежно генерировать высокоразмерные запутанные состояния становится все более важной для квантовых сетей, распределенных квантовых вычислений и квантово-усиленного сенсинга. Наш подход предоставляет систематический метод для достижения этой цели с использованием квантовых блужданий, которые естественным образом реализуемы на различных платформах квантового оборудования, включая фотонные системы, захваченные ионы и сверхпроводящие кубиты.

6. Реализация кода

Ниже приведен пример псевдокода на Python, демонстрирующий симуляцию квантового блуждания с оптимизированными последовательностями монет:

import numpy as np
from qutip import basis, tensor, sigmax, qeye

def hadamard():
    return 1/np.sqrt(2) * np.array([[1, 1], [1, -1]])

def identity():
    return np.array([[1, 0], [0, 1]])

def shift_operator(position_space):
    # Создать оператор сдвига, который перемещает |0> вправо, |1> влево
    S_pos = np.zeros((position_space, position_space))
    for i in range(position_space-1):
        S_pos[i+1, i] = 1  # Сдвиг вправо
        S_pos[i, i+1] = 1  # Сдвиг влево
    return S_pos

def quantum_walk_step(psi, coin_op, shift_op, position_dim):
    # Применить операцию монеты
    coin_full = np.kron(coin_op, np.eye(position_dim))
    psi_after_coin = coin_full @ psi
    
    # Применить операцию сдвига
    shift_full = np.kron(np.eye(2), shift_op)
    psi_after_shift = shift_full @ psi_after_coin
    
    return psi_after_shift

def calculate_entanglement(state, coin_dim, position_dim):
    # Вычислить энтропию запутанности
    density_matrix = np.outer(state, state.conj())
    reduced_density = partial_trace(density_matrix, [coin_dim, position_dim])
    eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(reduced_density)
    entropy = -np.sum(eigenvalues * np.log2(eigenvalues + 1e-12))
    return entropy

# Пример: 10-шаговое блуждание с оптимальной последовательностью монет
coin_sequence = [hadamard(), identity(), hadamard(), identity(), 
                 hadamard(), identity(), hadamard(), identity(),
                 hadamard(), identity()]

# Инициализировать квантовое состояние
initial_coin = 1/np.sqrt(2) * np.array([1, 1])  # |+> состояние
initial_position = basis(21, 10)  # Начать в центре
psi = np.kron(initial_coin, initial_position)

position_dim = 21
shift_op = shift_operator(position_dim)

# Выполнить квантовое блуждание
entanglement_values = []
for step, coin_op in enumerate(coin_sequence):
    psi = quantum_walk_step(psi, coin_op, shift_op, position_dim)
    entropy = calculate_entanglement(psi, 2, position_dim)
    entanglement_values.append(entropy)
    print(f"Шаг {step+1}: Энтропия запутанности = {entropy:.4f}")

7. Будущие приложения

Способность надежно генерировать максимальную запутанность между монетой и позицией имеет многочисленные потенциальные приложения:

• Квантовая связь: Высокоразмерные запутанные состояния могут увеличить пропускную способность канала в протоколах квантового распределения ключей.
• Квантовые вычисления: Квантовые блуждания служат универсальными вычислительными моделями, и надежная генерация запутанности имеет решающее значение для сложных квантовых алгоритмов.
• Квантовое моделирование: Оптимизированные последовательности могут моделировать сложные квантовые системы с улучшенными свойствами запутанности.
• Квантовая метрология: Запутанные состояния позволяют прецизионные измерения за пределами классических пределов, с приложениями в сенсинге и визуализации.
• Квантовые сети: Независимость от начального состояния делает эти протоколы надежными для распределенной обработки квантовой информации.

Будущие направления исследований включают расширение этого подхода на пространства монет более высокой размерности, исследование сценариев с несколькими блуждающими частицами и изучение приложений в топологических квантовых вычислениях и квантовом машинном обучении.

8. Ссылки

1. Venegas-Andraca, S. E. (2012). Quantum walks: a comprehensive review. Quantum Information Processing, 11(5), 1015-1106.
2. Kitagawa, T., et al. (2010). Exploring topological phases with quantum walks. Physical Review A, 82(3), 033429.
3. Zhu, J. Y., et al. (2017). Unpaired image-to-image translation using cycle-consistent adversarial networks. Proceedings of the IEEE international conference on computer vision.
4. Nayak, A., & Vishwanath, A. (2000). Quantum walk on the line. arXiv preprint quant-ph/0010117.
5. Ambainis, A. (2003). Quantum walks and their algorithmic applications. International Journal of Quantum Information, 1(04), 507-518.
6. Childs, A. M. (2009). Universal computation by quantum walk. Physical review letters, 102(18), 180501.
7. Asboth, J. K., & Edge, J. M. (2015). A brief introduction to topological phases of photons. International Journal of Modern Physics B, 29(21), 1530006.