فهرست مطالب
1. مقدمه
راهرَویهای کوانتومی (QWs) معادل کوانتومی راهرَویهای تصادفی کلاسیک هستند و به عنوان ابزارهای بنیادی در علم اطلاعات کوانتومی ظهور کردهاند. برخلاف همتایان کلاسیک خود، راهرَویهای کوانتومی از برهمنهی و درهمتنیدگی برای دستیابی به شتابهای نمایی در وظایف محاسباتی مختلف استفاده میکنند. این مطالعه بر راهرَویهای کوانتومی گسسته-زمان (DTQWs) متمرکز شده و به طور خاص به چالش تولید درهمتنیدگی بیشینه سکه-موقعیت بدون توجه به شرایط اولیه میپردازد.
نوآوری کلیدی ارائه شده در اینجا، توسعه توالیهای سکه بهینهشدهای است که تولید درهمتنیدگی بیشینه را برای هر گام فراتر از گام دوم تضمین میکند و محدودیتهای قبلی که نیاز به حالتهای اولیه خاص یا رویکردهای مجانبی داشتند را پشت سر میگذارد. این کار بهینهسازی نظری را با اعتبارسنجی تجربی با استفاده از اپتیک خطی پیوند میدهد.
2. روششناسی
2.1 چارچوب راهرَوی کوانتومی
راهرَوی کوانتومی گسسته-زمان در یک فضای هیلبرت $\mathcal{H} = \mathcal{H}_c \otimes \mathcal{H}_p$ عمل میکند، جایی که $\mathcal{H}_c$ فضای سکه (معمولاً دو-بعدی) و $\mathcal{H}_p$ فضای موقعیت است. تکامل در هر گام توسط عملگر یکانی $\hat{U} = \hat{S}(\hat{C} \otimes \hat{I})$ کنترل میشود، جایی که $\hat{S}$ عملگر جابجایی و $\hat{C}$ عملگر سکه است.
2.2 توالیهای عملگر سکه
ما از یک استراتژی استفاده میکنیم که در آن عملگر سکه در هر گام به صورت تصادفی از مجموعهای از دو عملگر انتخاب میشود: گیت هادامارد $\hat{H}$ و گیت همانی $\hat{I}$. این توالی معادل راهرَوی کوانتومی فیل تعمیمیافته است و تولید درهمتنیدگی قوی مستقل از حالت اولیه سکه را ممکن میسازد.
3. پیادهسازی فنی
3.1 فرمولبندی ریاضی
عملگر سکه عمومی SU(2) به صورت زیر پارامتریسازی میشود:
$$\hat{C}(\xi, \gamma, \zeta) = \begin{pmatrix} e^{i\xi}\cos\gamma & e^{i\zeta}\sin\gamma \\ e^{-i\zeta}\sin\gamma & -e^{-i\xi}\cos\gamma \end{pmatrix}, \quad \gamma, \xi, \zeta \in [0, 2\pi]$$
برای تولید درهمتنیدگی بیشینه، ما به طور خاص از عملگر هادامارد $\hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ و عملگر همانی $\hat{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ در توالیهای بهینهشده استفاده میکنیم.
3.2 رویکرد بهینهسازی
تولید درهمتنیدگی بیشینه به عنوان یک مسئله بهینهسازی با وفاداری فرآیند کوانتومی به عنوان تابع هزینه فرمولبندی میشود. بهینهسازی توالیهای سکهای را شناسایی میکند که درهمتنیدگی را برای هر تعداد گام $T \geq 3$ بیشینه میکنند و نتایجی را به دست میآورند که مستقل از آمادهسازی حالت اولیه هستند.
4. نتایج تجربی
4.1 پیادهسازی اپتیک خطی
ما به طور تجربی یک راهرَوی کوانتومی دهگامی را با استفاده از اپتیک خطی نشان دادیم. این راهاندازی از صفحات موج و جابجاکنندههای پرتو برای پیادهسازی عملگرهای سکه و عملگرهای جابجایی استفاده کرد، با فوتونهای تکی که به عنوان راهرَوندگان عمل میکردند. پیکربندی تجربی کنترل دقیق بر توالی سکه و اندازهگیری دقیق درهمتنیدگی حاصل را ممکن ساخت.
4.2 اندازهگیری درهمتنیدگی
درهمتنیدگی تولید شده با استفاده از معیارهای همزمانی و آنتروپی کمی شد. برای راهرَوی دهگامی با توالیهای سکه بهینهشده، ما مقادیر درهمتنیدگی نزدیک به بیشینه بیش از ۰.۹۸ را برای تمام حالتهای اولیه آزمایش شده مشاهده کردیم. توزیع احتمال، گسترش سریعتر مشخصه مرتبط با راهرَوی کوانتومی فیل تعمیمیافته را نشان داد.
دستیابی به درهمتنیدگی
> ۰.۹۸
همزمانی برای راهرَوی ۱۰-گامی
استقلال از گام
T ≥ ۳
برای تمام گامهای فراتر از دوم کار میکند
استقلال از حالت اولیه
۱۰۰٪
برای حالتهای اولیه دلخواه کار میکند
5. تحلیل و بحث
این تحقیق نشاندهنده پیشرفت قابل توجهی در تولید درهمتنیدگی مبتنی بر راهرَوی کوانتومی است و دو محدودیت حیاتی رویکردهای قبلی را مورد توجه قرار میدهد: وابستگی به تعداد گام و حساسیت به حالت اولیه. چارچوب بهینهسازی توسعه یافته در اینجا، تولید درهمتنیدگی بیشینه را به عنوان یک مسئله بهینهسازی وفاداری فرآیند کوانتومی در نظر میگیرد و توالیهای سکهای را به دست میدهد که درهمتنیدگی بالا را برای هر گام فراتر از دوم تضمین میکنند.
در مقایسه با کارهای قبلی روی راهرَویهای کوانتومی بینظم که تولید درهمتنیدگی مجانبی را به دست آوردند، رویکرد ما راهحلهای عملی و گاممحدودی ارائه میدهد که بلافاصله در محیطهای تجربی قابل اعمال هستند. معادل بودن توالیهای سکه بهینهشده ما با راهرَوی کوانتومی فیل تعمیمیافته، ارتباط جالبی بین تولید درهمتنیدگی و خواص انتقال، به ویژه گسترش سریعتر مشاهده شده در فضای موقعیت را آشکار میکند.
اعتبارسنجی تجربی با استفاده از اپتیک خطی، امکانپذیری پیادهسازی این توالیهای بهینهشده با فناوریهای کوانتومی فعلی را نشان میدهد. همانطور که در مرور جامع راهرَویهای کوانتومی توسط ونگاس-آندراکا (۲۰۱۲) اشاره شده است، توانایی تولید درهمتنیدگی ابعاد-بالا به طور قابل اطمینان برای پیشبرد پروتکلهای ارتباط کوانتومی حیاتی است. کار ما با روند گستردهتر در علم اطلاعات کوانتومی به سمت توسعه پروتکلهای قوی و مستقل از حالت اولیه، مشابه پیشرفتها در تصحیح خطای کوانتومی و محاسبات کوانتومی تحملپذیر خطا، همسو است.
از دیدگاه فنی، استفاده از عملگرهای هادامارد و همانی در توالیهای بهینه به ویژه قابل توجه است. این سادگی امکانپذیری تجربی را افزایش میدهد در حالی که عملکرد نظری را حفظ میکند، که یادآور رویکرد مینیمالیستی دیده شده در کارهای مهم مانند مقاله CycleGAN (Zhu و همکاران، ۲۰۱۷) است، جایی که انتخابهای معماری ساده نتایج قدرتمندی به دست آورد. فرمولبندی ریاضی با استفاده از پارامتریسازی SU(2) یک چارچوب جامع ارائه میدهد که میتواند در کارهای آینده به عملگرهای سکه پیچیدهتر گسترش یابد.
پیامدهای این تحقیق فراتر از مکانیک کوانتومی بنیادی به فناوریهای کوانتومی عملی گسترش مییابد. با بلوغ پلتفرمهای محاسبات کوانتومی، توانایی تولید حالتهای درهمتنیده ابعاد-بالا به طور قابل اطمینان برای شبکهبندی کوانتومی، محاسبات کوانتومی توزیعشده و سنجش تقویتشده کوانتومی اهمیت فزایندهای پیدا میکند. رویکرد ما یک روش سیستماتیک برای دستیابی به این هدف با استفاده از راهرَویهای کوانتومی ارائه میدهد که به طور طبیعی روی پلتفرمهای سختافزاری کوانتومی مختلف از جمله سیستمهای فوتونی، یونهای به دام افتاده و کیوبیتهای ابررسانا قابل پیادهسازی هستند.
6. پیادهسازی کد
در زیر یک مثال شبهکد پایتون نشاندهنده شبیهسازی راهرَوی کوانتومی با توالیهای سکه بهینهشده آمده است:
import numpy as np
from qutip import basis, tensor, sigmax, qeye
def hadamard():
return 1/np.sqrt(2) * np.array([[1, 1], [1, -1]])
def identity():
return np.array([[1, 0], [0, 1]])
def shift_operator(position_space):
# ایجاد عملگر جابجایی که |0> را به راست، |1> را به چپ حرکت میدهد
S_pos = np.zeros((position_space, position_space))
for i in range(position_space-1):
S_pos[i+1, i] = 1 # جابجایی به راست
S_pos[i, i+1] = 1 # جابجایی به چپ
return S_pos
def quantum_walk_step(psi, coin_op, shift_op, position_dim):
# اعمال عملگر سکه
coin_full = np.kron(coin_op, np.eye(position_dim))
psi_after_coin = coin_full @ psi
# اعمال عملگر جابجایی
shift_full = np.kron(np.eye(2), shift_op)
psi_after_shift = shift_full @ psi_after_coin
return psi_after_shift
def calculate_entanglement(state, coin_dim, position_dim):
# محاسبه آنتروپی درهمتنیدگی
density_matrix = np.outer(state, state.conj())
reduced_density = partial_trace(density_matrix, [coin_dim, position_dim])
eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(reduced_density)
entropy = -np.sum(eigenvalues * np.log2(eigenvalues + 1e-12))
return entropy
# مثال: راهرَوی ۱۰-گامی با توالی سکه بهینه
coin_sequence = [hadamard(), identity(), hadamard(), identity(),
hadamard(), identity(), hadamard(), identity(),
hadamard(), identity()]
# مقداردهی اولیه حالت کوانتومی
initial_coin = 1/np.sqrt(2) * np.array([1, 1]) # حالت |+>
initial_position = basis(21, 10) # شروع از مرکز
psi = np.kron(initial_coin, initial_position)
position_dim = 21
shift_op = shift_operator(position_dim)
# اجرای راهرَوی کوانتومی
entanglement_values = []
for step, coin_op in enumerate(coin_sequence):
psi = quantum_walk_step(psi, coin_op, shift_op, position_dim)
entropy = calculate_entanglement(psi, 2, position_dim)
entanglement_values.append(entropy)
print(f"گام {step+1}: آنتروپی درهمتنیدگی = {entropy:.4f}")7. کاربردهای آینده
توانایی تولید درهمتنیدگی بیشینه سکه-موقعیت به طور قابل اطمینان کاربردهای بالقوه متعددی دارد:
- ارتباط کوانتومی: حالتهای درهمتنیده ابعاد-بالا میتوانند ظرفیت کانال را در پروتکلهای توزیع کلید کوانتومی افزایش دهند.
- محاسبات کوانتومی: راهرَویهای کوانتومی به عنوان مدلهای محاسباتی جهانی عمل میکنند و تولید درهمتنیدگی قابل اطمینان برای الگوریتمهای کوانتومی پیچیده حیاتی است.
- شبیهسازی کوانتومی: توالیهای بهینهشده میتوانند سیستمهای کوانتومی پیچیده را با خواص درهمتنیدگی تقویتشده شبیهسازی کنند.
- سنجش کوانتومی: حالتهای درهمتنیده اندازهگیریهای دقیق فراتر از محدودیتهای کلاسیک را ممکن میسازند، با کاربردهایی در سنجش و تصویربرداری.
- شبکههای کوانتومی: استقلال از حالت اولیه این پروتکلها را برای پردازش اطلاعات کوانتومی توزیعشده قوی میسازد.
جهتهای تحقیقاتی آینده شامل گسترش این رویکرد به فضاهای سکه ابعاد-بالاتر، بررسی سناریوهای چند-راهرونده و کاوش کاربردها در محاسبات کوانتومی توپولوژیکی و یادگیری ماشین کوانتومی است.
8. مراجع
- Venegas-Andraca, S. E. (2012). Quantum walks: a comprehensive review. Quantum Information Processing, 11(5), 1015-1106.
- Kitagawa, T., et al. (2010). Exploring topological phases with quantum walks. Physical Review A, 82(3), 033429.
- Zhu, J. Y., et al. (2017). Unpaired image-to-image translation using cycle-consistent adversarial networks. Proceedings of the IEEE international conference on computer vision.
- Nayak, A., & Vishwanath, A. (2000). Quantum walk on the line. arXiv preprint quant-ph/0010117.
- Ambainis, A. (2003). Quantum walks and their algorithmic applications. International Journal of Quantum Information, 1(04), 507-518.
- Childs, A. M. (2009). Universal computation by quantum walk. Physical review letters, 102(18), 180501.
- Asboth, J. K., & Edge, J. M. (2015). A brief introduction to topological phases of photons. International Journal of Modern Physics B, 29(21), 1530006.