التشابك الأقصى بين العملة والموضع في المشي الكمي

جدول المحتويات

1. المقدمة

يمثل المشي الكمي (QWs) النظير الكمي للمشي العشوائي الكلاسيكي، وقد ظهر كأداة أساسية في علم المعلومات الكمية. على عكس نظيراتها الكلاسيكية، تستغل المشيات الكمية التراكب والتشابك لتحقيق تسريع أسي في مهام حسابية متنوعة. تركز هذه الدراسة على المشي الكمي المنفصل الزمن (DTQWs) وتتناول تحديداً تحدي توليد التشابك الأقصى بين العملة والموضع بغض النظر عن الظروف الأولية.

الابتكار الرئيسي المقدم هنا هو تطوير تسلسلات عملة مُحسنة تضمن توليد التشابك الأقصى لأي خطوة بعد الثانية، متغلبين على القيود السابقة التي كانت تتطلب إما حالات أولية محددة أو نهجاً مقارباً. هذا العمل يربط بين التحسين النظري والتحقق التجريبي باستخدام البصريات الخطية.

2. المنهجية

2.1 إطار المشي الكمي

يعمل المشي الكمي المنفصل الزمن في فضاء هيلبرت $\mathcal{H} = \mathcal{H}_c \otimes \mathcal{H}_p$، حيث $\mathcal{H}_c$ هو فضاء العملة (عادة ثنائي الأبعاد) و$\mathcal{H}_p$ هو فضاء الموضع. يحكم التطور في كل خطوة العامل الوحدوي $\hat{U} = \hat{S}(\hat{C} \otimes \hat{I})$، حيث $\hat{S}$ هو عامل الإزاحة و$\hat{C}$ هو عامل العملة.

2.2 تسلسلات عملية العملة

نستخدم استراتيجية يتم فيها اختيار عملية العملة في كل خطوة عشوائياً من مجموعة من عاملين: بوابة هادامارد $\hat{H}$ وبوابة المحايدة $\hat{I}$. هذا التسلسل يعادل المشي الكمي للفيل المعمم ويمكن من توليد تشابك قوي مستقل عن حالة العملة الأولية.

3. التنفيذ التقني

3.1 الصياغة الرياضية

يتم معلمة عامل العملة العام SU(2) كالتالي:

$$\hat{C}(\xi, \gamma, \zeta) = \begin{pmatrix} e^{i\xi}\cos\gamma & e^{i\zeta}\sin\gamma \\ e^{-i\zeta}\sin\gamma & -e^{-i\xi}\cos\gamma \end{pmatrix}, \quad \gamma, \xi, \zeta \in [0, 2\pi]$$

لتوليد التشابك الأقصى، نستخدم تحديداً عامل هادامارد $\hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ والعامل المحايد $\hat{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ في تسلسلات مُحسنة.

3.2 نهج التحسين

يتم صياغة توليد التشابك الأقصى كمشكلة تحسين مع الأمانة الكمية للعملية كدالة تكلفة. يحدد التحسين تسلسلات العملة التي تزيد التشابك لأي عدد خطوات $T \geq 3$، محققة نتائج مستقلة عن إعداد الحالة الأولية.

4. النتائج التجريبية

4.1 التنفيذ بالبصريات الخطية

أظهرنا تجريبياً مشياً كمياً من عشر خطوات باستخدام البصريات الخطية. استخدم الإعداد صفائح الموجة ومزاحات الحزمة لتنفيذ عمليات العملة وعمليات الإزاحة، مع استخدام الفوتونات المفردة كمشاة. مكن التكوين التجريبي من التحكم الدقيق في تسلسل العملة والقياس الدقيق للتشابك الناتج.

4.2 قياس التشابك

تم قياس التشابك المُولد باستخدام مقاييس التوافق والإنتروبيا. بالنسبة للمشي ذي العشر خطوات مع تسلسلات العملة المُحسنة، لاحظنا قيم تشابك شبه قصوى تتجاوز 0.98 لجميع الحالات الأولية المختبرة. أظهر توزيع الاحتمال الانتشار الأسرع المميز المرتبط بالمشي الكمي للفيل المعمم.

5. التحليل والمناقشة

يمثل هذا البحث تقدماً مهماً في توليد التشابك القائم على المشي الكمي، معالجا قيدين حرجين للنهج السابقة: الاعتماد على عدد الخطوات وحساسية الحالة الأولية. إطار التحسين المطور هنا يعامل توليد التشابك الأقصى كمشكلة تحسين لأمانة العملية الكمية، منتجاً تسلسلات عملة تضمن تشابكاً عالياً لأي خطوة بعد الثانية.

مقارنة بالعمل السابق على المشيات الكمية المضطربة التي حققت توليد تشابك مقارب، نهجنا يوفر حلول عملية ذات خطوات محددة قابلة للتطبيق فورياً في الإعدادات التجريبية. التكافؤ بين تسلسلات العملة المُحسنة لدينا والمشي الكمي للفيل المعمم يكشف عن ارتباط مثير بين توليد التشابك وخصائص النقل، خصوصاً الانتشار الأسرع الملاحظ في فضاء الموضع.

التحقق التجريبي باستخدام البصريات الخطية يظهر جدوى تنفيذ هذه التسلسلات المُحسنة بتقنيات الكم الحالية. كما لوحظ في المراجعة الشاملة للمشيات الكمية بواسطة Venegas-Andraca (2012)، فإن القدرة على توليد تشابك عالي الأبعاد بشكل موثوق حاسمة لتطوير بروتوكولات الاتصال الكمي. عملنا يتوافق مع الاتجاه الأوسع في علم المعلومات الكمية نحو تطوير بروتوكولات قوية مستقلة عن الحالة الأولية، مشابهة للتقدم في تصحيح الأخطاء الكمية والحوسبة الكمية المتسامحة مع الأخطاء.

من منظور تقني، استخدام عمليات هادامارد والمحايدة في التسلسلات المثلى ملحوظ بشكل خاص. هذه البساطة تعزز الجدوى التجريبية مع الحفاظ على الأداء النظري، تذكرنا بالنهج البسيط الموجود في أعمال أساسية مثل ورقة CycleGAN (Zhu et al., 2017)، حيث الخيارات المعمارية البسيطة أنتجت نتائج قوية. الصياغة الرياضية باستخدام معلمة SU(2) توفر إطاراً شاملاً يمكن توسيعه إلى عمليات عملة أكثر تعقيداً في العمل المستقبلي.

تطبيقات هذا البحث تمتد beyond ميكانيكا الكم الأساسية إلى تقنيات الكم العملية. مع نضج منصات الحوسبة الكمية، تصبح القدرة على توليد حالات متشابكة عالية الأبعاد بشكل موثوق أكثر أهمية للشبكات الكمية، والحوسبة الكمية الموزعة، والاستشعار المعزز كمياً. نهجنا يوفر طريقة منهجية لتحقيق هذا الهدف باستخدام المشيات الكمية، التي يمكن تنفيذها طبيعياً على منصات عتاد كمي متنوعة تشمل الأنظمة الضوئية، والأيونات المحتجزة، والكيوبتات فائقة التوصيل.

6. تنفيذ الكود

أدناه مثال على كود زائف بلغة Python يوضح محاكاة المشي الكمي مع تسلسلات العملة المُحسنة:

import numpy as np
from qutip import basis, tensor, sigmax, qeye

def hadamard():
    return 1/np.sqrt(2) * np.array([[1, 1], [1, -1]])

def identity():
    return np.array([[1, 0], [0, 1]])

def shift_operator(position_space):
    # إنشاء عامل إزاحة يحرك |0> لليمين، |1> لليسار
    S_pos = np.zeros((position_space, position_space))
    for i in range(position_space-1):
        S_pos[i+1, i] = 1  # إزاحة لليمين
        S_pos[i, i+1] = 1  # إزاحة لليسار
    return S_pos

def quantum_walk_step(psi, coin_op, shift_op, position_dim):
    # تطبيق عملية العملة
    coin_full = np.kron(coin_op, np.eye(position_dim))
    psi_after_coin = coin_full @ psi
    
    # تطبيق عملية الإزاحة
    shift_full = np.kron(np.eye(2), shift_op)
    psi_after_shift = shift_full @ psi_after_coin
    
    return psi_after_shift

def calculate_entanglement(state, coin_dim, position_dim):
    # حساب إنتروبيا التشابك
    density_matrix = np.outer(state, state.conj())
    reduced_density = partial_trace(density_matrix, [coin_dim, position_dim])
    eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(reduced_density)
    entropy = -np.sum(eigenvalues * np.log2(eigenvalues + 1e-12))
    return entropy

# مثال: مشي 10 خطوات مع تسلسل عملة أمثل
coin_sequence = [hadamard(), identity(), hadamard(), identity(), 
                 hadamard(), identity(), hadamard(), identity(),
                 hadamard(), identity()]

# تهيئة الحالة الكمية
initial_coin = 1/np.sqrt(2) * np.array([1, 1])  # حالة |+>
initial_position = basis(21, 10)  # البدء من المركز
psi = np.kron(initial_coin, initial_position)

position_dim = 21
shift_op = shift_operator(position_dim)

# تنفيذ المشي الكمي
entanglement_values = []
for step, coin_op in enumerate(coin_sequence):
    psi = quantum_walk_step(psi, coin_op, shift_op, position_dim)
    entropy = calculate_entanglement(psi, 2, position_dim)
    entanglement_values.append(entropy)
    print(f"Step {step+1}: Entanglement entropy = {entropy:.4f}")

7. التطبيقات المستقبلية

القدرة على توليد التشابك الأقصى بين العملة والموضع بشكل موثوق لها تطبيقات محتملة عديدة:

• الاتصال الكمي: يمكن للحالات المتشابكة عالية الأبعاد تعزيز سعة القناة في بروتوكولات توزيع المفاتيح الكمية.
• الحوسبة الكمية: تخدم المشيات الكمية كنماذج حسابية عالمية، وتوليد التشابك الموثوق حاسم للخوارزميات الكمية المعقدة.
• المحاكاة الكمية: يمكن للتسلسلات المُحسنة محاكاة أنظمة كمية معقدة بخصائص تشابك معززة.
• القيس الكمي: تمكن الحالات المتشابكة من قياسات دقة beyond الحدود الكلاسيكية، مع تطبيقات في الاستشعار والتصوير.
• الشبكات الكمية: استقلالية الحالة الأولية تجعل هذه البروتوكولات قوية لمعالجة المعلومات الكمية الموزعة.

الاتجاهات البحثية المستقبلية تشمل توسيع هذا النهج إلى فضاءات عملة أعلى أبعاداً، والتحقق في سيناريوهات متعددة المشاة، واستكشاف التطبيقات في الحوسبة الكمية الطوبولوجية والتعلم الآلي الكمي.

8. المراجع

1. Venegas-Andraca, S. E. (2012). Quantum walks: a comprehensive review. Quantum Information Processing, 11(5), 1015-1106.
2. Kitagawa, T., et al. (2010). Exploring topological phases with quantum walks. Physical Review A, 82(3), 033429.
3. Zhu, J. Y., et al. (2017). Unpaired image-to-image translation using cycle-consistent adversarial networks. Proceedings of the IEEE international conference on computer vision.
4. Nayak, A., & Vishwanath, A. (2000). Quantum walk on the line. arXiv preprint quant-ph/0010117.
5. Ambainis, A. (2003). Quantum walks and their algorithmic applications. International Journal of Quantum Information, 1(04), 507-518.
6. Childs, A. M. (2009). Universal computation by quantum walk. Physical review letters, 102(18), 180501.
7. Asboth, J. K., & Edge, J. M. (2015). A brief introduction to topological phases of photons. International Journal of Modern Physics B, 29(21), 1530006.